על סרגל ומחוגה

רשימה זאת נכתבת בשולי דרמה שולית שהתרחשה לא מזמן עם פרסום הספרון "ראסל" בסדרת "הפילוסופים הגדולים". ובכן, בתרגום הספר נפלה טעות מביכה.  המילה האנגלית compass, שאמורה להיתרגם בקונטקסט מתמטי למילה העברית "מחוגה", תורגמה בטעות למילה "מצפן".  התרגום השגוי עלול להוביל למשפטים משעשעים כגון "הגיאומטריה האוקלידית הסתמכה על סרגל ומצפן בלבד" וכיוצא בזה. הקורא דוד שי, שאיתר את הטעות ודיווח עליה במכתב לעיתון הארץ, זכה לתשובה נרגזת מעורך הסדרה, שטען כי האבחנה בין מצפן למחוגה אינה קריטית לתיאור משנתו של ראסל.

ובכן, הטעות הצורמת וניסיון החיפוי השערורייתי מעידים על חוסר הבנה בסיסי של תפקיד הסרגל והמחוגה בתולדות המדע בכלל ובפילוסופיה של ראסל בפרט.  רשימה זאת נכתבה כדי להשיב לסרגל ולמחוגה (compass and straightedge) את כבודם הרמוס.

כדי לסקור את תפקיד הסרגל והמחוגה בהתפתחות המתודה המדעית יש להרחיק כעשרת אלפים שנה אחורה, לתחילת העידן החקלאי. הצורך לחלק ולתחום חלקות אדמה חייב את האדם להמציא כלי הפשטה גאומטריים, והעיסוק במדידת כמויות זרעים ויבולים הוביל לפיתוח טכניקות אלגבריות שונות. ואמנם, ממצאים ארכיאולוגיים ממסופוטמיה ומעמק הנילוס מעידים על תחכום מתמטי-אפלקטיבי מרשים מחד, המלווה בבורות לוגית-מתודית מאידך.  לדוגמא, מהנדסי הפירמידות ידעו להשתמש במשפט פיתאגורס שנים רבות לפני שפיתאגורס נולד, אך לא היה להם מושג מדוע המשפט נכון.  יתרה מכך – חכמי מצריים העתיקה לא התעניינו כלל בהוכחת הנכונות הלוגית של משפטים מתמטיים.  אם טכניקה הנדסית מסוימת הוכיחה את עצמה בשטח, הם קיבלו אותה כמובנת מאליה.

חבלים כאלה נמצאו בהרבה חפירות ארכיאולוגיות במסופוטמייה ומצריים. החבל מחולק ע"י קשרים ל 12 קטעים שווים שיוצרים את שלושת המספרים הפיתגוריים 3,4,5 ( 3 בריבוע ועוד 4 בריבוע שווה 5 בריבוע). לכן, אם מניחים את החבל כפי שנראה בציור הוא יוצר משולש ישר זווית. הם לא ידעו למה זה עובד וזה לא עניין אותם, בין היתר כי הייתה להם פרימידה לבנות על הראש.

קבלת הנכונות של טכניקות הנדסיות כמובנה מאליה הייתה תולדה של השלטון האבסולוטי תחתיו הן צמחו – שלטון שדיכא כל ניסיון להטיל ספק בסטטוס קוו. עקב כך, טכניקות הוכחה מודרניות כגון טיעון על דרך השלילה והסתמכות על חוקים לוגיים שאינם סרים לסמכות כלשהי היו בלתי תקינות מבחינה פוליטית ומחוץ לרפרטואר המדעי המקובל.  ואמנם, כדי להיווצר ולשגשג, מדע המתמטיקה ותורת ההוכחה המודרנית נזקקו לאקלים פוליטי שונה לחלוטין — כזה המעודד סקפטיות, ארגומנטציה, וחופש אינטלקטואלי.  אין זה פלא איפה שבין תחילת השימוש במתמטיקה ככלי הנדסי ועד הפיכתה למדע אבסטרקטי עברו כשבעת אלפים שנים – עד המצאת הדמוקרטיה ביוון העתיקה.

יחד עם מתנת הדמוקרטיה, העניקו היוונים לעולם מערכת ערכים אינטלקטואלית שהדגישה פשטות, אסתטיקה, וחובת הוכחה.  על רקע זה, הסרגל והמחוגה היוו עבור המתמטיקאים היוונים ארגז כלים מינימלי המספק כוח ביטוי מקסימלי.  הנקודה, הקו והעיגול הם שלושת הרכיבים האלמנטריים שמגדירים את מרחב הצורות הניתן לשרטוט בגיאומטריה אוקלידית.  ואמנם, היוונים העריצו את האתגר האינטלקטואלי של יצירת ידע גיאומטרי מורכב בעזרת סרגל ומחוגה בלבד, ואסרו על המתמטיקאים שלהם להשתמש בשום פרדיגמה קונסטרוקטיבית אחרת.

וכך, באופן מקרי ולא מתוכנן, ההתעקשות על סרגל ומחוגה בלבד הובילה להמצאת המתודה המדעית המודרנית.  ראשית, היא אילצה את המתמטיקאי היווני להוכיח שניתן להגיע אל כל תובנה גיאומטרית חדשה בעזרת סדרה סופית של צעדים שנעשים בעזרת שני כלי עבודה מוסכמים מראש. שנית, היא עודדה לנתח טענות מורכבות בעזרת רדוקציה לטענות פשוטות יותר – טכניקה הנמצאת בבסיס עבודתו של כל מדען מודרני. שלישית, היא הצביעה על הקשר בין אסתטיקה ופשטות לבין טיעון מדעי אפקטיבי. רביעית, ההאדרה של שני כלי עבודה פשוטים ונגישים נתנה לכל אדם את החרות לעסוק בגיאומטריה ולהתפתח למדען נערץ, ללא קשר למעמד כלכלי או ייחוס משפחתי.  חמישית, הטריביאליות של הסרגל והמחוגה הציבה את החשיבה האנושית במרכז העשייה המדעית, ויצרה שפה לוגית אוניברסלית שאיפשרה לכל מתמטיקאי להבין מייד את טיעוניו של רעהו ולבדוק את תקפותם באופן אובייקטיבי.  ולבסוף, הגיאומטריה האוקלידית נתנה לגיטימציה מלאה לעיסוק מדעי רציני בסוגיות אבסטרקטיות שלא היה להן שום קשר נראה לעין לבעיות מעשיות.  בקיצור, ניתן למתוח קו ישר (וסליחה על משחק המילים) בין האדרת הסרגל והמחוגה לבין הלוגיקה הדידקטית של אריסטו, העצמאות האינטלקטואלית של סוקראטס, והאבחנה בין הראלי לאידיאלי של אפלטון.  ומכאן ועד לתורת היחסות ולמדעי המחשב הדרך קצרה, כפי שנראה בהמשך.

מות ארכימדס. ארכימדס, מגדולי המתמטיקאים בהיסטוריה, היה גם מהנדס גאוני שתכנן מכונות מלחמה להגנה על עירו סירקוז.  כאשר כלו כל הקיצים וגייסות הרומאים  הבקיעו את חומת העיר, הוא פרש לקרן זווית כדי לשרטט הוכחה גיאומטרית כלשהי בחול (הסרגל והמחוגה בצד ימין למטה).  לפי האגדה, מילותיו האחרונות היו: "זוז, אתה מסתיר לי את העיגול".

בדומה לגיאומטריה האוקלידית, גם האלגברה הפיתאגורית ניסתה להסתמך על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות וחוקי היסק. לדוגמא, המתמטיקאים הפיתאגוריים האמינו שעבור כל מספר x קיימים שני מספרים שלמים a ו b כך ש x  נכנס לתוך a בדיוק b פעמים.  הטענה הזאת נראית מאד הגיונית, משום שהיא מאפשרת לבחור את a ו b  כרצוננו.  למשל, אם זה לא נכון ש x = a / b  עבור x נתון, הרי ההגיון מכתיב שכל מה שצריך לעשות זה או להגדיל את a ו/או להקטין את b כרצוננו עד שהמשוואה תהיה נכונה.  ההנחה הזאת הייתה לב ליבה של האלגברה היוונית הקדומה, עבורה המספרים השלמים היוו את הסרגל והמחוגה איתם ניתן ליצור באופן קונסטרוקטיבי כל מספר שנצפה בטבע.

האידיליה הזאת נופצה כאשר אדם בשם היפאסוס הוכיח שלא קיימים שני מספרים שלמים a ו- b עבורם מתקיים  a / b = שורש ריבועי של 2. האגדה מספרת שחבריו הפיתאגוריים של היפאסוס ניסו להשתיקו ע"י השלכתו ללב ים, אך האמת המדעית כמובן חסינה למים.  את הרוגז הקדום על התגלית המעצבנת הזאת ניתן לחוש עד היום, משום שמספרים כגון שורש ריבועי של 2 אותם לא ניתן ליצור ע"י חלוקה של שני מספרים שלמים נקראים "מספרים לא רציונליים".  ובהקשר הזה מעניין לציין את הדמיון בין המילה האנגלית ratio ("שבר אלגברי") לבין המילה היוונית "ראציו" (הגיון).

לבושתה הרבה של האלגברה הקדומה, ניתן היה ליצור מספרים כגון  שורש ריבועי של 2 ללא שום בעיה בעזרת גיאומטריה של גן ילדים. לדוגמא, אם אתה מסוגל לשרטט ריבוע שאורך צלעו הוא 1, אתה מסוגל ליצור מספר לא רציונלי, משום שאורך האלכסון של ריבוע כזה הוא שורש ריבועי של 2 (לפי משפט פיתאגורס). הקלות הבלתי נסבלת בה ניתן היה לבטא מספרים לא רציונלים בעזרת סרגל ומחוגה מחד, וחוסר היכולת להסביר את קיומם בעזרת כלים אלגבריים מאידך, הובילו לשקיעת האלגברה ולפריחת הגיאומטריה.  במשך למעלה מאלפיים שנה, ספרי "היסודות" של אוקלידס נחשבו לגולת הכותרת של מדע המתמטיקה, והעיסוק באלגברה טואטא לשולי הקהילה המדעית.

רק בשנת 1637 הצליח רנה דקארט להתיך את הגאומטרייה והאלגברה למקשה אחת, ולהראות שהן למעשה שתי פנים של אותה מטבע. למרבית האירוניה, ובצדק היסטורי מסוים, פריצת הדרך של דקארט הפכה את הקערה על פיה והראתה שהגיאומטריה הקלאסית היא למעשה מקרה פרטי ולא מעניין במיוחד של האלגברה המודרנית.  בפרט, בעוד שהגיאומטריה האוקלידית הייתה מוגבלת לכל מה שניתן לשרטט או לדמיין במרחב תלת-ממדי, האלגברה הקארטזית הפכה לממלכה אבסטרקטית חסרת גבולות, שבה תובנות מתמטיות חופשיות לפרוח ולשגשג בכל מספר מימדים שהוא, אפילו אם אין להן ביטוי פיזי בתפיסת המציאות המוגבלת אליה נדון האדם ע"י מערכת החושים האנושית.

אין זה פלא איפה שתורת היחסות ומכניקת הקוונטים – תחומים העוסקים בגדלים ובמהירויות שחושינו לא יקלטו לעולם – יכלו להתפתח אך רק לאחר שהחשיבה המתמטית השתחררה מכבלי הגיאומטריה הקלאסית והפליגה למרחבים אלגבריים חדשים.  גם הגאומטריה עצמה המשיכה לככב, אבל לא בגרסתה האוקלידית המקורית.  בפרט, בתורת היחסות הכללית איינשטיין החליף את המשוואות הקלאסיות של ניוטון ומקסוול במודל גאומטרי לעילא, ויצר תורה שאין בה כוחות אלא רק אינטואיצייה גיאומטרית מרחבית (אני מודה ליהודה הופמן מקבוצת הרוכבים שלנו על ההערה הזאת).

במקביל, הסרגל והמחוגה המשיכו וממשיכים לפעום בלב ליבה של כל מתודה מתמטית מודרנית, במובן מטאפורי חשוב ביותר.  וזה המקום בו ברטראנד ראסל נכנס לתמונה.  בתחילת המאה העשרים — תקופה  שאופיינה ע"י אופטימיות מדעית קיצונית — ניסו מספר לוגיקנים כגון פרגה, וייטהד, וראסל לבנות בסיס אקסיומטי מוצק לכל תורת המתמטיקה, תוך הסתמכות על לוגיקה סימבולית.  הגישה שלהם לנושא היתה אוקלידית לחלוטין, בסגנון הסרגל והמחוגה. בפרט, הם ניסו להראות שניתן להוכיח או להפריך כל טיעון מתמטי בעזרת סדרה סופית של צעדי היקש לוגיים המבוססים על מספר קטן ככל האפשר של אקסיומות סבירות.

הפרוגרמה הזאת נכשלה ב 1930, כאשר קורט גדל (Godel) הראה שקיימות אמיתות מתמטיות שלא ניתן להוכיח את נכונותן ע"י לוגיקה סימבולית – אותה לוגיקה שצמחה על ברכי הסרגל והמחוגה. ליתר דיוק, גדל הראה שאם המתמטיקה היא תורה עיקבית (בה לא ניתן להוכיח דבר והיפוכו), הרי היא בהכרח תורה לא שלמה (שניתן לנסח בה טענות נכונות שאין להן הוכחה).  מכיוון שעד היום איש לא הצליח להוכיח את נכונותו וחוסר נכונותו של טיעון מתמטי כלשהוא, נובע ממשפט גדל שהמתמטיקה היא כנראה תורה לא שלמה.  במילים אחרות, יש הרבה דברים נכונים שלעולם לא נוכל להוכיח את אמיתותם.

משפט גדל נחשב ע"י רבים לתובנה המתמטית העמוקה ביותר של המאה העשרים. כמו עיקרון אי-הודאות של הייזנברג, מיוחסות לו משמעויות מטפיזיות ודתיות שונות. לדוגמא, את ההתפכחות הכואבת מניפוץ החלום על כוחה הבלתי מוגבל של מלכת ושפחת המדעים ביטא היטב אנדרה ווייל: "אלוהים קיים כי המתמטיקה עיקבית; השטן קיים כי לעולם לא נצליח להוכיח זאת".  הכוונה, כמובן, היא להוכחה בעזרת טכניקות לוגיות המבוססות על חשיבה דידקטית המסתמכת על ארגז כלים קטן ככל האפשר.

במדעי המחשב, ניתן לחשוב על הסרגל והמחוגה כעל המספר 0 והפעולה הלוגית האלמנטרית Nand. בספר שכתבנו לאחרונה, נועם ניסן ואני מראים באופן קונסטרוקטיבי כיצד לבנות משתי אבני הבנייה הטריביאליות הללו מחשב מודרני, על כל מערכות החומרה והתוכנה שלו. ובעזרת מחשב כזה ניתן לייצג ולממש באופן דיגיטלי כל מספר, טקסט, יצירה מוזיקלית, תמונה, או סרט כלשהם. במובן זה, מדעי המחשב הם הגיאומטריה של המאה ה 21: אנו מנסים לבנות ולחקור את העולמות המרתקים שניתן ליצור באמצעות הפעלת דמיון אנושי אינסופי על הנחה אחת ויחידה: קיומן של שתי אבני בנייה אלמטריות, והחופש להרכיב ולפרש אותן כרצוננו.  במידה רבה, זוהי הסיבה העיקרית בגללה מדעי המחשב הם מדע ולא הנדסה. כפי שאמר אלברט איינשטיין: "מטרת המדע היא להסביר מספר גדול ככל האפשר של תופעות בעזרת מספר קטן ככל האפשר של חוקים".  על אף שבין הסרגל והמחוגה לבין הטכנולוגייה שמאפשרת את פירסום הבלוג הזה מפרידות 3000 שנים, הרעיון הכללי ורוח הדברים זהים לחלוטין.